1、讨论未串接控制器时，闭环系统的输出是否达到性能指标要求。

在Matlab中对 $ G_{(s)}=\frac{12}{(s+1)(s+2)(s+3)} $ 进行仿真可得输出响应如下图所示： 由图像可知，调节时间Ts=5.24s；超调量$\sigma \%=\frac{0.8214-0.6659}{0.6659} \times 100 \%=23.35 \%$，达不到性能指标要求。

2、扩充临界比例度法

（1）、求出临界稳定时对应的K值。

运行代码：

num=12;
den=conv([1,1],conv([1,2],[1,3]));
g=tf(num,den);
rlocus(g);

求得根轨迹如下图所示： 由图像可知，临界点对应的增益K=4.87。

(2）、画出纯比例控制时的系统临界稳定输出图形，求出临界比例度和临界振荡周期。

运行代码：

num=12;
den=conv([1,1],conv([1,2],[1,3]));
g=tf(num,den);
kp=4.87; 
gc=feedback(g*kp,1);
t=0:0.01:10;step(gc,t);
grid on；

求得临界稳定输出图形如下图所示： 临界振荡周期Tr=1.91s；临界比例度为1/4.87。

（3）、根据扩充临界比例度法，写出模拟调节器控制度为1.05和控制度为1.5时的系统的PID参数。

获取控制度为1.05的PID参数，运行以下代码：

tu=1.91;
detak=1/4.87; 
T=0.014*tu;
kp=0.63*detak;
ti=0.49*tu;
td=0.14*tu;
T,kp,ti,td

计算得PID参数为： 比例系数KP =0.1294，积分时间常数TI =0.9359，微分时间常数TD=0.2674，采样周期T=0.2674。 获取控制度为1.5的PID参数，运行以下代码：

tu=1.91;
detak=1/4.87;
T=0.09*tu;
kp=0.34*detak;
ti=0.43*tu;
td=0.20*tu;
T,kp,ti,td

计算得控制度为1.5时的PID参数为： 比例系数KP =0.0698，积分时间常数TI =0.8213，微分时间常数TD=0.3820，采样周期T=0.1719。

（4）、根据扩充临界比例度法，写出控制度为1.05和控制度为1.5时的系统的位置式PID控制算式。

控制度为1.05时：$T=0.014 \operatorname{Tr}$ ; $\mathrm{Kp}=0.63 \delta{r} $; $T{I}=0.49 \operatorname{Tr} $; $T_{d}=0.14 \mathrm{Tr}$

控制度为1.5时：$T=0.09 \mathrm{Tr} $; $\mathrm{Kp}=0.34 \delta{r} $; $T{I}=0.43 \mathrm{Tr} $; $T_{d}=0.20 \mathrm{Tr}$

（5）、画出模拟调节器、控制度为1.05和控制度为1.5时的系统的单位阶跃响应图。讨论不同控制度的PID参数变化情况，分析控制效果（性能指标）。

运行下列代码：

num=12;
den=conv([1,1],conv([1,2],[1,3]));
gg=tf(num,den);
t=0:0.01:10;
figure(1);
step(gg,'y');
hold on;
%以下用扩充临界比例度法进行参数整定¨
tu=1.91;
detak=1/4.87;
%控制度为1.05的PID控制器
T=0.014*tu;
kp=0.63*detak;
ti=0.49*tu;
td=0.14*tu;
ggd=c2d(gg,T,'zoh');
d0=1+T/ti+td/T;
d1=-1-2*td/T;
d2=td/T;
numd=kp*[d0 d1 d2];
dend=[1 -1 0];
dd=tf(numd,dend,T); 
sysd=feedback(ggd*dd,1);
step(sysd,'r');
hold on;
%控制度为1.5的PID调节器
T=0.09*tu;
kp=0.34*detak;
ti=0.43*tu;
td=0.20*tu;
ggd=c2d(gg,T,'zoh');
d0=1+T/ti+td/T;
d1=-1-2*td/T;
d2=td/T;
numd=kp*[d0 d1 d2];
dend=[1 -1 0];
dd=tf(numd,dend,T);
sysd=feedback(ggd*dd,1);
step(sysd,'b');
title('黄线：未串接控制器的单位阶跃响应。红线：串接1.05的PID；蓝线：串接1.5的PID');

获得未串接PID控制器、串接1.05PID控制器和串接1.5PID控制器的开环阶跃响应如下图所示： 由图可看出，未串接PID控制器时，系统超调量100%。串接1.05控制度的PID控制器或1.5控制度的PID控制器后，系统无超调量。串接1.05控制度的PID控制器的系统上升时间为14.3s，串接1.05控制度的PID控制器的系统上升时间为26s。根据不同控制度的响应曲线，可知控制度为1.05的上升时间更小，更接近性能指标。

3、试凑法

选择扩充临界比例度法中控制度为1.05的PID参数，代入系统，根据试凑法调节系统PID参数中的T,Kp,Ti,Td的值，使系统输出满足给出的性能指标要求，给出满足指标要求的T,Kp,Ti,Td的值及单位阶跃响应图。 由于系统没有超调，要加快系统的响应，可增加kp的值，使比例项作用更快，增大积分系数，积分作用减弱，减小Kp增大后出现的超调量。所以在原来1.05的参数基础上增大kp和增大积分系数至输出达到性能指标要求。

运行下列代码：

num=12;
den=conv([1,1],conv([1,2],[1,3]));
gg=tf(num,den);
tu=1.91;
detak=1/4.87;
%以控制度为1.05的PID参数为初值进行试凑
T=0.014*tu;
kp=1.8*detak;   %增大kp
ti=0.65*tu;     %增大ti   
td=0.14*tu;
T,kp,ti,td
ggd=c2d(gg,T,'zoh');
d0=1+T/ti+td/T;
d1=-1-2*td/T;
d2=td/T;
numd=kp*[d0 d1 d2];
dend=[1 -1 0];
dd=tf(numd,dend,T);
sysd=feedback(ggd*dd,1);
t=0:0.01:10;
figure(2);
step(sysd,'b');
hold on;
%控制度为1.05的PID
kp=0.63*detak;
ti=0.49*tu;
td=0.14*tu;
T=0.014*tu;
ggd=c2d(gg,T,'zoh');
d0=1+T/ti+td/T;
d1=-1-2*td/T;
d2=td/T;
numd=kp*[d0 d1 d2];
dend=[1 -1 0];
dd=tf(numd,dend,T);
sysd=feedback(ggd*dd,1);
step(sysd,'r');
title('串控制器后的单位阶跃响应，蓝线：试凑法；红线：控制度为1.05的PID');

获得到对比图如下所示：

试凑法得到的响应曲线，上升时间4.49s，无超调量，符合性能要求。 试凑法获得的PID参数：Kp=0.3696；Ti=1.2415；Td=0.2674；T=0.0267s

4、扩充响应曲线法

（1）、画出对象阶跃响应曲线图，求出等效滞后时间常数τ和等效惯性时间常数Tm。

运行下列代码：

num=12;
den=conv([1,1],conv([1,2],[1,3]));
gg=tf(num,den);
step(gg);
k=dcgain(gg)

计算得，K=2，对象阶跃响应曲线图如下所示： 由图可知，τ=0.399；Tm=2.76-0.399=2.361

（2）、根据扩充响应曲线法，选取合适的控制度，写出对应的PID参数。

选取1.05控制度的PID控制器，运行下列代码：

num=12;
den=conv([1,1],conv([1,2],[1,3]));
gg=tf(num,den);
figure(1);
step(gg);
tao=0.399;
Tm=2.361;
%选取控制度为1.05
T=0.05*tao;
kp=0.15*Tm/tao;
ti=2*tao;
td=0.45*tao;
T,kp,ti,td,

求得PID控制器参数：T = 0.0200；kp = 0.8876；ti = 0.7980；td = 0.1796。